Rigoare, emoţie, matematică şi visare în arta lui Dan Dermengiu

Rigoare emoţie, matematică şi visare

Genesys_bridge

Archetypal_cryptomnesia

Arta lui Dan Dermengiu, porneşte de la fractali

Rigoare şi emoţie, matematică şi visare în arta lui Dan Dermengiu

Starea de spirit, dispoziţia

Bucuria şi tristeţea sunt, alături de frică, principalele tipuri de emoţii. Fericirea şi tristeţea sunt experienţe umane universale modelate de selecţia naturală pentru a creşte adaptabilitatea în anumite situaţii.

Fericirea e produsă de situaţii care  adesea se corelează cu o creştere a succesului reproductiv: a fi admirat, a fi iubit, a avea copii, a-i privi cum cresc, a avea nepoţi etc.

Tristeţea, supărarea, sunt produse de situaţii asociate cu o adaptare proastă: starea de boală, pierderea statutului, pierderea resurselor, respingerea socială, pierderea unui prieten sau a unei persoane iubite, moartea unui copil.

Un rol imediat şi important al stării de spirit este că acţionează ca un factor motivant. Oamenii repetă acţiuni care i-au făcut fericiţi în trecut şi le evită pe cele care le-au adus amărăciune. La un nivel cognitiv şi mai ridicat, oamenii îşi planifică acţiunile bazându-se pe aşteptările lor privind stările emoţionale care vor rezulta.

Caracteristicile stărilor de fericire sau de tristeţe oferă indicii despre situaţiile în care aceste stări oferă avantaje. O persoană fericită e energică, optimistă, impunătoare, sociabilă, dornică să înceapă noi proiecte şi face investiţii substanţiale în oameni şi proiecte, cu încredere. Persoana tristă e letargică, pesimistă, umilă, retrasă, excesiv de realistă în legătură cu propriile abilităţi, cu puţină iniţiativă.

Situaţiile în care aceste caracteristici ar putea creşte adaptabilitatea nu sunt caracterizate de un succes sau eşec imediate, ci de indicatori ai recompenselor din viitor pe unitate investită, iar raportul recompense disponibile/unităţi investite corespunde stărilor de bine sau de prost-dispunere. Cu siguranţă că e mai util pentru un organism să-şi regleze utilizarea energiei şi investiţiile sociale atunci când vor fi recompensate bine în loc de atunci când ar fi risipite fără vreun rezultat sau recompensă.

Panica şi agorafobia

Panica poate fi declanşată de atacul unui animal sau om. Agorafobia este un subtip de frică ce apare în spaţii deschise, în care un atac e posibil. Modificările fiziologice, adaptative, care acompaniază panica sunt: creşterea nivelului de glucoză în sânge ca substrat metabolic, adrenalina înlătura moleşeala, forţa musculară crescută facilitează acţiunea, creşterea ratei respiratorii aduce un surplus de oxigen, creşterea coagulabilităţii previne eventuale pierderi excesive de sânge. Panica alternează cogniţia şi comportamentul, astfel că mintea devine interesată doar de găsirea unor modalităţi de scăpare. Modificările vocale şi faciale solicită ajutor din partea cunoştinţelor sau rudelor.

Oamenii care în mod repetat trăiesc senzaţia de panică dezvoltă agorafobia - teama de spaţii deschise, locuri în care frica intensă a fost trăită înainte etc. Aceste caracteristici ale agorafobiei sunt bine potrivite pentru a evita un atac într-un mediu periculos.

O persoană căreia îi lipseşte capacitatea de a se panica în situaţii periculoase, în mediul natural are un dezavantaj selectiv. Orice om care ar sta mândru şi fără frică în faţa unui tigru probabil că ar fi mâncat de acesta.

Tulburările de panică sunt boli ce rezultă din reglarea defectuoasă a panicii, dar panica în sine, la fel ca şi tusea, nu e o boală, ci un mecanism defensiv împotriva unor tipuri particulare de pericole.

Multora le este teamă să se afle în centrul atenţiei. Situaţiile ridicole în care ar putea fi puse astfel de persoane nu reprezintă doar un simplu disconfort; ele sunt ameninţări serioase pentru succesul reproductiv. Pe de altă parte, teama de succes are uneori rol adaptativ; de exemplu dacă liderii exclud sau îi pedepsesc pe cei care ar reprezenta o ameninţare a poziţiei lor.

Ce sunt emoţiile?

Emoţiile sunt nişte moduri de operare specializate, modelate de selecţia naturală în scopul ajustării parametrilor fiziologici, psihologici şi comportamentali ai organismelor astfel încât să fie crescută capacitatea de adaptare la diferite pericole sau oportunităţi. Astfel, fiecare emoţie corespunde unei anumite situaţii care a apărut în mod repetat pe parcursul evoluţiei. Iar tocmai aceste situaţii şi nevoia de a fi cât mai adaptat a dus la apariţia diferitelor tipuri de emoţii (frica, furia, bucuria, tristeţea şi iubirea). Dar să le luăm pe rând.

Frica

Dacă diferite emoţii corespund unor diferite tipuri de situaţii, diferite subtipuri ale fricii au fost modelate în funcţie de diferite tipuri de ameninţări (prădători, înălţimi, persoane străine, diferite situaţii sociale, boli etc).

TEST GEOMETRIE PARTEA II

TEST GEOMETRIE PARTEA I

Ecuatii emotionale

STIMA DE SINE = SUCCES / PRETENTII

Matematica emotiilor

Sunt convinsa ca va amintiti din vremea copilariei, sau din postura de parinti, imaginea copilului plangand in hohote pentru ca a cazut si s-a lovit. Pentru el nu exista o tragedie mai mare decat ce i s-a intamplat. 

Expresia fetei, lacrimile si strigatul de ajutor din ochii lui sunt foarte expresive. In fractiuni de secunda, odata cu scalambaielile parintilor, hohotele se transforma in ras, dar distinctia intre ras si plans ramane greu de facut. Pe parcus, micutul isi poate aminti ca el era in mijlocul unei tragedii, el de fapt plangea. Si rasul poate sa se innece din nou in plans. 

Cand eram copil aceasta imagine era descrisa plastic prin expresia "ras cu plans, balega de manz".

RATAT VS INVINGATOR!

“Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde.”

Eric Berne

MATEMATICA MAI USOARA!

“Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată.” Thomas Edison

Succesul unei relații ține de calitatea interacțiunilor dintre parteneri.

Succesul unei relații ține de calitatea interacțiunilor dintre parteneri. Atât de simplu!

Și uite așa, în funcție de asta, oamenii ăștia au întocmit o formulă care este identică și la bărbați și la femei.

Ce cuprinde această formulă? Cum se simte fiecare partener singur, cum se simte alături de partener și modul în care celălalt îl influențează!

STRATEGII DE MOTIVARE

INTELIGENTA VS EFORT

MUZICA!

LA SCOALA IEPURASILOR!

CARTE SI INTELEPCIUNE!

DRINK TEA READ BOOKS BE HAPPY!

Printre carti!

Mesajul emotionant al lui Tudor Chirila catre liceeni, dar romanii nu distribuie asa ceva! „Noi am pierdut. Dar voi, voi mai aveţi o şansă.”

Noi am pierdut. Dar voi, voi mai aveţi o şansă. Noi am fost fericiţi că am descoperit Coca-Cola şi bananele şi am crezut că dacă noi citim, şi ei vor citi. Şi că toţi vom progresa şi ţara o să aibă scăpare. Noi ne-am înşelat. Unii dintre noi au plecat de aici. Câştigă bani acolo şi tânjesc după oraşul ăsta împuţit. Voi însă, voi aveţi o şansă. Voi, aveţi şansă.

Nu vă gândiţi la furat. E calea cea mai simplă. Ştiu că aţi aflat că aşa te îmbogăţeşti. Dacă ai pământ sau dacă faci afaceri cu statul. Ştiţi voi ceva despre TVA şi cum ai putea să-l furi, dar nu vă e încă foarte clar. Nu ăsta e drumul. Cu cât se va fura mai mult, cu atât se va construi mai puţin, iar copiii copiilor noştri vor moşteni un imperiu de cenuşă. Sunteţi tineri şi totuşi habar n-aveţi ce înseamnă un Bucureşti în care se circulă normal. Dacă voi habar n-aveţi şi dacă Ei continuă să fure, gândiţi-vă la copiii noştri. Nu e nici o şansă.

Citiţi. Citiţi mult. Citiţi tot ce vă pică în mână. Nu-i mai ascultaţi doar pe profesori. Citiţi orice, fără discernământ. Nimic nu e mai important ca lectura, acum. Apoi, căutaţi-vă între voi. Vedeţi care citiţi aceleaşi lucruri şi înhăitaţi-vă. Numai în haită de oameni deştepţi o să reuşiţi. Unul singur dintre voi va fi mâncat. Zece însă, s-ar putea să reuşiţi. Gândiţi-vă de pe acum să-iînlocuiţi. Timpul lor trebuie să se termine. Trebuie să-i dominaţi. Dar nu cu gândul că veţi fura mai mult ca ei. Asta e calea simplă care vă va sufoca moştenitorii. Ce-o să faceţi cu milioaneleîntr-un oraş mort? Ce-o să cumpăraţi, cu banii grămezi? La ce-ţi foloseşte un Lamborghini cândn-ai o autostradă? De ce să ai o vilă într-un cartier sufocat de inundaţii?

Nu vă duşmăniţi profesorii. Sunt oameni amărâţi, din ale căror drame puteţi învăţa. Îşi dau priceperea pe un salariu de nimic şi vă învaţă carte. Nu vă băteţi joc de ei. Au muncit, şi nu e vina lor că părinţii voştri s-au descurcat mai bine. N-aveţi nici un drept să-i dispreţuiţi. Nu le sunteţi superiori. Banii părinţilor voştri nu vă reprezintă. Vă reprezintă doar ceea ce puteţi scoate pe gură. Aveţi grijă ce scoateţi pe gură. Vremea pumnului şi a bodyguarzilor a trecut. O să călătoriţi, iar copiii francezi învaţă carte, englezii la fel. Vă confruntaţi cu o lume care acum e mai deschisă decât oricând. Hoţii de la putere nu sunt în stare să vă spună cine este Delacroix sau Chagall. Nici Duchamp. Nu vă pot spune care e influenţa lui Schopenhauer în Sărmanul Dionis şi nici de ce este Eminescu un romantic întârziat. Foarte puţini o să vă spună cine a pictat Cina cea de taină şi de ce Visconti a ales romanul lui Thomas Mann ca să facă un mare film. Ei vor şti doar să vă înveţe să furaţi. Iar calea asta, mai devreme sau mai târziu, se va înfunda şi ne va asfixia copiii.

Nu vă mai luaţi după ziare. Nu dau doi bani pe generaţia voastră, nu vă daţi seama? Pentru ei, cu cât sunteţi mai proşti, cu atât le va fi mai uşor să vă vândă orice căcat. Iar căcatul pe care îl veţi cumpăra va fi obţinut de la proşti, plătiţi pe măsură. Adică prost. Eleva porno este un exemplu. Nu citiţi ziarele. Citiţi câteva, cele care vă informează. Nu marşaţi la orice promoţie. Fiţi mai selectivi.

Nu fumaţi iarbă şi nu vă daţi în cap cu alcool, cu orice preţ. O să le daţi apă la moară inculţilor şi hoţilor de la putere. Le va fi mai simplu să vă catalogheze drept o generaţie de distruşi, iar banii destinaţi salvării voastre îi vor fura. E timp şi pentru iarbă, e timp şi pentru tequila. Acum însă trebuie să învăţaţi, pentru că în curând nu va mai fi timp pentru asta, căci veţi intra în viaţă adânc de tot, şi e mai rău ca în junglă. Animalele au reguli nescrise. Oamenii au legi scrise.

Nu alergaţi după bani cu orice preţ. Banii trebuie să vă fie doar mijloc, nu scop. Scopul vostru trebuie să fie cunoaşterea. Cu cât veţi şti mai multe, cu atât veţi fi mai înalţi. Orice carte citită, orice lecţie învăţată, se vor aşeza sub voi şi vă vor ridica deasupra celorlalţi. Veţi domina cu mintea. Nu e nimic mai frumos decât asta. Europa cumpără inteligenţă. România nu cumpără nimic pentru că hoţii nu construiesc, hoţii fură. Nu uitaţi că vă fură pe voi şi asta trebuie să vă oprească. O să auziţi toată viaţă de Napoleon şi de Nicolae Titulescu, dar sigur copiii voştri nu vor şti cine a fost Emil Boc. Istoria o scriu cei care construiesc.

Sunteţi tineri. Nu vă gândiţi că sunteţi slabi. Puterea voastră stă în curăţenie. Sunteţi curaţi, n-auapucat să vă mânjească, dar dacă dintre voi nu se vor ridica luptătorii, o să vă împroaşte cu noroiul străzilor pe care nu le-au reparat. Fiecare picătură de noroi sunt banii care n-au ajuns pe strada aia. Trebuie să schimbaţi asta. Care e calea? Să citiţi. Literatura universală o să vă înveţe să deosebiţi Binele de Rău. Balzac, Stendhal, Dumas, Dostoievski, Dickens, Tolstoi, Goethe, toţi deosebesc Binele de Rău. Din prezentul amărâtei ăsteia de ţări nu puteţi învăţa Binele. Binele puteţi fi voi. Şi cu cât veţi fi mai mulţi buni, cu atât veţi sufoca răul. Nu e imposibil. Daţi scrisoarea asta mai departe. Deveniţi buni, mai buni, cei mai buni şi răspândiţi-vă precum lăcustele.

Nu-i invidiaţi pe oamenii cu bani. Nu vă faceţi modele din băieţii de bani gata, din băieţii de oraş. După treizeci şi nouă de ani le va rămâne doar o listă lungă de femei. Or trofeele astea sunt trecătoare. Când îmbătrâneşti şi trofeul tău va fi o babă. După asta vine singurătatea. Voi aveţi şansa să lăsaţi ceva în urma voastră. Banii nu sunt Calea. Priviţi unde ne-a adus setea de bani.

Nu vă resemnaţi, asta nu duce nicăieri. Capul plecat, sabia îl taie. Protestaţi, luptaţi, protestaţi. Cu scop, însă. Nu degeaba, că altfel se transformă în lătrat. Învăţaţi legile. Învăţaţi-vă drepturile. Atunci veţi şti când are cineva voie să vă legitimeze. Veţi şti cum să luptaţi, dacă veţi şti legile. Apoi o să vedeţi că legile sunt proaste. Şi veţi înţelege că trebuie să le schimbaţi. Pare greu şi cere timp. Dar, Doamne, voi aveţi timp şi pentru voi nimic nu e greu. Voi nu înţelegeţi că SUNTEŢI SCHIMBAREA? Dacă voi lăsaţi ţara asta pe mâna hoţilor, atunci de-abia copii voştri vor mai avea o şansă! Căci şansa vine o dată la o generaţie. Noi am pierdut. Câţiva dintre noi, şi nu suntem puţini, vă putem ajuta. Noi suntem Fomilă şi Setilă, dar voi sunteţi Harap-Alb. Alegeţi dintre voi pe adevăraţii lideri. Să-i alegeţi şi să nu-i invidiaţi. Lor le va fi cel mai greu. Vor avea gloria, dar şi coşmarul. Vor fi salvatorii voştri, dar se vor pierde pe ei înşişi. Liderii trebuie să fie dintre voi. Şi trebuie să-i căutaţi de pe acum. Uitaţi-văunii la alţii în fiecare zi şi căutaţi-vă căpitanii. Altfel veţi pieri o dată cu noi. Şi atunci porţile libertăţii ne vor fi închise şi EI vor câştiga. Cine sunt ei? Ştiţi foarte bine. Îi vedeţi în ziare, în fiecare zi.

Salvaţi-vă! Salvaţi-ne! Este o singură cale! Lupta cunoaşterii!! Şi când veţi fi câştigat lupta cunoaşterii,de-abia atunci veţi şti să luptaţi cu adevărat!!!

Nu vă amăgiţi cu prezentul… Salvaţi-vă în viitor. Noi am pierdut. Voi? Ce faceţi?

Impodobim bradul!

Tehnologia si copii!

PAMANTUL

Avantajele si dezavantajele IAC

Cu ajutorul calculatorului, elevii au acces la surse de informare dincolo de clasa si de manuale, dezvoltandu-si, totodata, abilitati de procesare a informatiei. forma atractiva de prezentare a informatiei poate asigura, de asemenea, un plus de motivare a elevului. Va retine copilul respectiva informatie si o va intelege mai bine decat daca ar fi obtinut-o citind o carte sau ascultand explicatiile profesorului?

Caracterul interactiv al IAC

Calculatorul, sistemele multimedia sunt tehnologii de comunicare interactiva. In general notiunea de "interactivitate" desemneaza procese de comunicare in cadrul carora emitatorul si receptorul joaca, alternativ, rolul de comunicator, fiecare primind un feedback imediat si complet.

Randunici-ghici

10. Opt rândunici stau pe gard.

Una a zburat,

Se scaldă la soare.

Câte mai sunt oare?

VRABIA REVINE IARA INTR-O NOUA GHICITOARE

9. Pe o creangă cam uscată

6 vrăbii stau la ceartă

Încă două au venit

Care-i suma la sfârşit?

GHICITOARE CU O FLOARE

8. Cinci petale floarea are.

Una s-a scuturat.

Câte au mai rămas?

Si o noua ghicitoare cu broscutele la soare

7. Trei broscuţe stau la soare,

Una în apă sare.

Acum priveşte spre mal,

Câte broaşte-au mai rămas?

Câte colţuri are o roată?

6. Cine-mi spune dintr-o dată

Câte colţuri are o roată?

La bunica în ogradă...

5. La bunica în ogradă

Patru căţeluşi fac zarvă.

Azorel, mai supărat,

Repede-a fugit în sat.

Să numărăm încă-o dată:

Câţi căţeluşi sunt în ogradă?

Vrabiuta are... - o noua ghicitoare

4. Vrăbiuţa are-n cuib

Opt puişori gălbui.

Vine, iacă, încă unul.

Câţi să fie oare…?

Ghicitoare cu iepurasi pentru copii dragalasi

3. Patru iepuraşi

Mici şi drăgălaşi

Aleargă pe câmpie.

Iacă unul vine!

Câţi iepuraşi pe câmpie

Merg după merinde?

Ghicitoare pentru fiecare! Copil mic sau copil mare!

2. Poţi rapid să socoteşti

Şi pe loc să îmi ghiceşti,

Numărând pe îndelete

Roţile la trei triciclete?

Alimente-zero calori

Reguli pentru o viata sanatoasa

IN FIECARE ZI.....

FA...

IN ASTEPTAREA LUI MOS CRACIUN

The most fundemental shape of existence, torus

GHICITOARE

1. În căsuţa din pădure
Stau cei 7 piticei
Dacă doi sunt după mure
Câţi acasă sunt cuminţei?

Dilema

Fibonacci

Fibonacci sub numele sau adevarat Leonardo Pisano a fost un matematician nascut in anul 1175 si este faimos pana in zilele noastre datorita descoperirii unui sir de numere cu proprietati cel putin interesante. Sirul incepe cu numerele 0 si 1 si are o singura regula: pentru a obtine numarul urmator adunati cele doua numere dinaintea lui.

Numerele Fibonacci sau despre matematica inspirationala June 10, 2014

In loc de concluzii

A fi profesor este  o permanentă provocare. Modul în care ne facem mesajul credibil şi uşor de înţeles trebuie să reprezinte o permanentă preocupare. Trebuie să fim mereu creativi şi mereu capabili să facem faţă dinamicii sitemului de învăţământ şi a societăţii.

Ȋn zilele noastre utilizarea calculatoarele nu reprezintă un apanaj al intelectualului, ci al omului de rând şi, mai ales, al generaţiilor cărora ne adresăm. Trebuie să vorbim pe limba lor. Calculatorul a adus o evoluţie în domeniul ştiinţei şi cu siguranţă are un potenţial care aşteaptă sa fie exploatat şi în domeniul didacticii. Putem să facem online pe internet calcule care acum zeci de ani nu erau accesibile nici calculatoarelor din universităţi. Ţine de talentul profesorilor, de dăruirea lor să folosească mijloacele informatice  nu  ca  metode  alternative, ci ca metode complementare în predarea matematicii. Ȋn mod cert ele reprezintă  o evoluţie la nivel global şi avem posibilitatea de a alege ca ele să reprezinte o evoluţie şi la nivelul activităţii didactice a fiecăruia dintre noi.

Instruirea programată

Programul Geogebra conţine o serie de comenzi care pot crea desene matematice statice, desene matematice dinamice, dar şi pagini de lucru interactive. Profesorii pot crea astfel de pagini în care elevii să vizualizeze anumite reprezentări, însoţite de întrebări, de itemi de completeare sau de alegerea a unei variante corecte (ex 15). Astfel de pagini de lucru pot constitui, evident, un bun mod de evaluare formativă, dar pot constitui şi secvenţe de învăţare într-un algoritm de instruire programată. Se poate ţine seama de gradarea progresului, principiul respectării ritmului individual de studiu, principiul verificării imediate a răspunsului.

Observaţia

Observaţia constă în urmărirea atentă a unor obiecte, figuri geometrice ce constituie conţinutul învăţării în scopul surprinderii însuşirilor semnificative ale acestora. Are caracter participativ, bazându-se pe receptivitatea elevilor şi asigură un raport corect între rigoare ştiinţifică şi accesibilitate.  Folosire programului GeoGebra ca procedeu în aplicarea acestei metode în lecţii precum: „Convergenţa şirurilor” şi „Limita unei funcţii intr-un punct” (ex 13, 14)  permite  elevii să decodifice la nivelul percepţiei vizuale limbajul cu vecinătăţi care se foloseşte pentru exprimarea noţiunii de limită.

Expunerea- prelegere.

Mulţi dintre profesorii de matematică sunt de părere că predarea unor noţiuni cu un grad complex de abstractizare (noţiunea de limită a unei funcţii într-un punct, noţiunea de derivată a unei funcţii într-un punct, integrala Riemann (ex 11, ex 12)), nu pot fi prezentate elevilor decât folosind această metodă, care presupune o bună organizare şi sistematizare a volumului de informaţie, dar, în acelaşi timp, şi pregătirea unor schiţe, planşe, a unor întrebări care să asigure un dialog cu elevii. Metoda răspunde capacităţii şi nevoii elevilor de liceu de cunoaştere a ansamblului complex, sintetic al realităţii.

Şi în cazul utilizării acestei metode, întrebuinţarea calculatorului se poate dovedi cheia succesului în atingerea obiectivelor stabilite. Reprezentările pe calculator fac noţiunile mai uşor de asimilat, captează mai uşor arenţia elevilor pe o perioadă mai îndelungată şi, totodată, pot stimula dialogul profesor-elevi.

Explicaţia

Folosirea calculatorului ca mijloc didaic în lecţiile în care predarea se ralizează prin metode tradiţionale cum ar fi expunerea asigură o eficienţă mai mare a folosirii acestei metode. Pe de o parte, înlesneşte înţelegerea lucrurilor – un program cum este cel din exemplul 10 poate înlocui cu mult mai mult succes urmărirea câtorva pagini de manual (Marius Burtea: Manual de clasa a IX-a TC+CD, editura Carminis,  paginile 237,238) – iar pe de altă parte, este mai atractiv pentru elevi.

Invăţarea prin descoperire

Descoperirea didactică reprezintă descoperirea dirijată de către profesor care ghidează elevii către obţinerea unui rezultat, a unei reguli, teoreme. Metoda este utilă pentru a stimula interesul elevilor pentru raţionamentul de tip şiinţific şi pentru a asigura o cunoaştere temeinică, a lucrurilor.

Se poate folosi această metodă pentru descoperirea de către elevi a formulelor pentru limite fundamentale: =1 , pornind de la o reprezentare grafică (ex 8). Elevii pot, de asemenea, intui rezultatul , calculând cu ajutorul calculatorului valorile termenilor şirurilor de tipul .

Este de precizat că se poate folosi calculatorul pentru a calcula valoarea termenului de rang 10 000 000 pentru orice şir de numere reale. Ȋn acest fel se pot obţine aproximări foarte bune pentru numere cu ar fi:  , care se scriu ca limite ale unor şiruri convergente. (ex 9)

Demonstraţia

Există două metode didactice intitulate la fel: demonstraţia. Ne referim în continuare la acea metodă care vizează reflectarea obiectului învăţării la nivelul percepţiei şi al reprezentării. Această metodă didactică are la bază folosirea materialului didactic care trebuie să îndeplinească cerinţele de a fi funcţional, de a fi adaptat la scop şi de a asigura perceperea prin cât mai mulţi analizatori: formă, culare, dimensiuni adecvate. Se folosesşte pentru a mări accesibilitatea unor noţiuni sau relaţii cu un grad mare de generalitate.

Un exemplu de lecţie în care folosim reprezentări grafice pentru a demonstra anumite rezultate teoretice este: „Definirea funcţiilor trigonometrice sinus şi cosinus” O dată ce elevii au înţeles modul de definire al funncţiilor trigonometrice, toate proprietăţile pot fi demonstrate, apelând la o simplă reprezentare (ex 5)

Un alt exemplu: La capitulul „Numere complexe sub formă trigonometrică” se poate arăta că imaginile rădacinilor de ordin n ale unui număr complex sunt vârfurile unui poligon regulat.(ex 6)

De asemenea, se poate demonstra că aproximarea numărului   este 3,14.(ex 7)

Rezolvarea de exerciţii si probleme

După cum am afirmat mai sus, programul are definite o multitudine de comenzi menite sa rezolve anumite probleme algoritmice. De exemplu. se pot calcula determinanţi, se pot rezolva sisteme, se poate determina dacă un număr este prim, etc… Este adevărat ca este de preferat ca elevii să efectueze calculele pe caiete, însă sunt situaţii în care este mai eficient să alocam mai puţin timp calculelor  şi mai mult timp raţionamentelor.

Este un bun mod de verificare a corectitudinii calculelor  şi, totodată, de a ilustra rezultatul unei probleme. Un exemplu în acest sens ar fi să determinăm asimptotele unei funcţii (ex1).

Totodată,  se pot realiza figurile unor probleme în special de geometrie sau grafice la analiză, care ar fi mult prea dificil de realizat sau chiar imposibil  folosind mijloacele obişnuite. (ex 2, 3)

Ȋn fine, se pot realiza reprezentări care conduc la o mai bună înţelegere de către elevi a ipotezei şi a concluziei unei probleme. (ex 4).

Aplicarea GeoGebra la ora de matematică

„Atitudinea fiecăruia dintre noi faţă de calculator este o probă, un răspuns la întrebarea: cum reacţionezi faţă de nou?”-  Grigore Moisil

Scop:  Prezentarea modului ȋn care poate fi integrat  software-ul  GeoGebra la ora de matematică

Obiective: 1. Integrarea ȋn conținutul matematicii a GeoGebrei pentru ca acesta să devină mai atractiv şi mai uşor de ȋnțeles

2. Valorificarea potenţialului creativ şi a originalităţii elevilor 

3. Stimularea dialogului profesor-elevi.

Argument: GeoGebra este o aplicaţie destinată învăţării şi predării matematicii, având un caracter interactiv şi putând fi utilizată în geometrie, algebră, analiză matematică, geometria analitică, statistică, calculul probabilităţilor, calculul diferenţial şi integral. Oferă o varietate foarte mare de instrumente care permit efectuarea de calcule, efectuarea unor algoritmi de  calcul în vederea obţinerii unor rezultate numerice, oferă suport vizual pentru orice noţiune matematică, pornind de la nivelul matematicii de gimnaziu până la nivel universitar. Permite, de asemenea, realizarea unor imagini dinamice, necesare înţelegerii unor noţiuni de matematică complexe cum ar fi: noţiunea de limită, sumă Riemann,  rădăcini de ordin n ale unităţii etc.. Este un soft gratuit, compatibil cu orice tip de sistem de operare uzual.

Folosirea programului GeoGebra în procesul instructiv-educativ

Reamintim că metoda didactică este calea de urmat în activitatea comună a educatorului şi a educaţilor pentru îndeplinirea scpului învăţării, adică pentru informarea şi formarea educaţilor. Metoda se constituie dintr-o varietate de procedee ce concură la atingerea scopului propus, iar eficienţa metodei este asigurată de calitatea şi varietatea procedeelor alese de către învăţător.

Procedeul didactic este componentă a metodei cu o acţiune tehnică mai limitată, un element de sprijin al metodei sau un mod concret de valorificare a ei.

Relevanţa pedagogică a softului educaţional constă tocmai în uşurinţa şi eficienţa cu care acesta poate fi folosit ca element de sprijin al unor metode specifice predării matematicii. Prezentăm câteva exemple mai jos:

Citate despre matematica

„Matematicianul este îmblânzitorul ce a domesticit infinitul.” 
(Lucian Blaga, 1895-1961, om de cultură român)

„Matematica pură este, în felul ei, poezia ideilor logice.”
(Albert Einstein, 1879-1955, fizician german)

„Matematica este nici mai mult, nici mai puţin, decât partea exactă a gândirii noastre.”
(Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966, matematician şi filosof olandez)

„Ca şi pentru toate celelalte, la fel şi pentru teoria matematică: frumuseţea poate fi percepută, dar nu explicată.”
(Arthur Cayley, 1821-1895, matematician britanic)

„Puterea care dinamizează invenţia matematică nu este raţiunea, ci imaginaţia.”
(Augustus De Morgan, 1806-1871, matematician şi logician britanic)

„Esenţa matematicii nu este să facă lucrurile simple complicate, ci să facă lucrurile complicate simple.”
(Stan Gudder, matematician american)

„Matematicile pun în joc puteri sufleteşti care nu sunt mult diferite de cele solicitate de poezie şi arte.” 
(Dan Barbilian, 1895-1961, matematician şi poet român)

„Algebra nu este decât o geometrie scrisă şi geometria nu este decât o algebră figurată.”
(Marie-Sophie Germain, 1776-1831, matematiciană, filosoafă şi fiziciană franceză)

Paul Adrien Maurice Dirac

„Matematica este unealta în mod special adaptată pentru a avea de a face cu concepte abstracte de orice fel şi nu există o limită a puterii sale în acest domeniu.”
(Paul Adrien Maurice Dirac, 1902-1984, fizician englez)

Cifra 0,

 Cifra 0,cunoscută încă din vremea babilonierilor, a fost introdusă în gândirea occidentală în secolul al XII-lea de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Aceasta a revoluționat lumea matematicii a fizicii cuantice, a tehnologiei rachetelor și a codului binar ( limbajul computerelor).

De ce matematica este o adevărată operă de artă pentru creier

Un şir de numere şi litere puse într-o formulă matematică pot evoca în creier acelaşi sentiment de frumuseţe iscat de capodoperele muzicale sau plastice ale marilor compozitori sau artişti.
Un studiu al Colegiului Universitar Londonez din Marea Britanie a arătat 60 de ecuaţii „urâte“ şi „frumoase“ unor matematicieni care se aflau într-un tomograf. Aceiaşi centri emoţionali din creier care se activează atunci când apreciem arta, s-au activat şi în cazul celor 15 matematicieni atunci când au văzut formulele matematice „frumoase“, notează BBC.

Identitatea lui Euler – frumuseţe în perfecţiune

Pentru ochiul neformat în ale matematicii, poate că această formulă nu reprezintă ceva frumos, însă în cadrul studiului britanicilor aceasta a fost alegerea matematicienilor.

 „Este o formulă clasică, nu se poate ceva mai bun de-atât. E simplă şi totuşi atât de profundă. Cuprinde cele cinci constante matematice importante – „zero“ (identitate adiţională), „unu“ (identitate multiplicativă), „e“ şi „pi“ (cele mai comune numere transcedentale) şi „i“ (numărul imaginar fundamental). Mai cuprinde şi cele trei operaţii aritmetice de bază: adunarea, înmulţirea şi ridicarea la putere“, spune profesorul David Percy de la Institutul Britanic de Matematică şi Aplicaţii.

MATEMATICA ESTE...

Roger Antonsen: Matematica este secretul pentru înţelegerea lumii

The golden rectangle that joins the Penta-Hexa geometries

"DNA displays both Penta (5-ness) and Hexa (6-ness) in its molecular arrangement. The golden rectangle that joins the Penta-Hexa geometries, is the double hydrogen bond in the phi ratio." – Jain 108 Mathemagics

CURCUBEUL SI MATEMATICA

LUCRARE SEMESTRIALA SEMESTRUL I CLASA A IX-A

Generatori de fractali

Oricine poate crea peisaje deosebite si imagini atragatoare cu ajutorul fractalilor, deoarece exista pe Internet o multime deprograme software generatoare de fractali. Astfel, oricine poate genera fractali, neavand nevoie sa cunoasca notiuni matematice complexe – tot ce trebuie sa faca este sa modifice functia care genereaza fractalul si alti parametri, si sa selecteze niste culori. De asemenea, va puteti compune propria muzica fractala cu ajutorul unor programe software specializate.

Fractalii in arta

Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de unii oameni in arta, colorati in manifestarile lor diferite si grupati in galerii de imagini fractale, pentru a ului si pentru a provoca imaginatia. De asemenea, fractalii mai pot fi utilizati pentru a modela cu precizie muzica produsa de diferiti compozitori. Fractalii se regasesc si in unele picturi, precum si in arta si arhitectura africana.

functiile fractale se comporta

In matematica, functiile fractale se comporta ca si sistemele haotice in care schimbari aleatoare asupra valorilor de pornire pot modifica valoarea functiei in moduri imprevizibile, in interiorul frontierelor sistemului. Faimoasa Multime Mandelbrot demonstreaza aceasta legatura dintre fractali si teoria haosului– dintr-o ecuatie matematica foarte simpla se produc rezultate foarte complexe.

Multimea Mandelbrot

Pentru a intelege fractalii, trebuie distinse acele proprietati fundamentale care nu se schimba de la un obiect studiat la altul. Prin studierea structurii fractale a sistemelor haotice, e posibil sa se determine punctele critice in care predictibilitatea unui sistem dispare.

Scopul geometriei fractale este acela de a oferi ometoda ingenioasa de cunoastere, prin care fenomene complexe pot fi explicate pornind de la niste reguli simple.

Fractalii si Teoria Haosului

Probabil ca ati auzit de “Efectul fluturelui“, care spune ca un fluture batand din aripi undeva in Europa poate declansa o tornada in Texas. De fapt asta afirma teoria haosului: mici modificari ale datelor initiale ale unui sistem complex pot conduce la stari finale ale sistemului foarte diferite.

O posibilitate importanta pentru a investiga sesibilitatea sistemelor haotice este de a le reprezenta comportamentul prin grafica pe computer. Aceste forme grafice rezultate apar sub forma unor fractali.

Utilitatea geometriei fractale in teoria haosului rezida in faptul ca obiectele nu mai sunt reduse la cateva forme perfect simetrice ca in geometria euclidiana – geometria fractala studiaza asimetria, asperitatea obiectelor, precum si

Munte fractal animat - mod de obtinere

structurile fractale din natura. In geometria fractala, norii nu mai sunt sfere, muntii nu mai sunt conuri, liniile de coasta nu mai sunt cercuri.

De fapt, asperitatea nu este numai o imperfectiune a unui lucru ideal, ci este chiar esenta multor obiecte naturale. Astfel, in timp ce geometria euclidiana servea ca limbaj descriptiv pentru mecanismele clasice de miscare, geometria fractala este folosita pentru studierea modelelor produse de haos.

Fractalii din natura

Fractalii se afla peste tot in jurul nostru, luand forma unui lant muntos sau se regasesc in unduirea liniei de tarm. Ca si formatiunile noroase si focurile licarind, unii fractali sufera schimbari continue, in timp ce altii, cum ar fi copacii sau sistemul vascular omenesc, retin structura pe care au capatat-o in evolutia lor.

Fractali aproximativi sunt usor de observat in natura. Aceste obiecte afiseaza o structura auto-similara la o scara mare, dar finita.

Matematicianul Michel Barsley

La inceputul anilor 1980, matematicianul Michel Barsley s-a alaturat randurilor mereu crescinde de "fractalieri". Cand era copil, Michel a fost fascinat in mod deosebit de anumite ferigi. Nu a putut stabili exact ce conferea ferigilor frumusetea lor magica decat multi ani mai tarziu.

Observand modul in care fiecare frunza se aseamana cu intreagul, el a scris un program simplu pe calculator pentru a modela aceste caracteristici. Imaginea rezultata era mult mai reala decat s-a asteptat si a devenit in curand unul dintre cei mai faimosi fractali in lume.

Michel Hanon de la Observatorul din Nisa

Unul dintre primii si cei mai faimosi fractali matematici a fost inventat de un astronom.

La inceputul anilor 1960, Michel Hanon de la Observatorul din Nisa, in Franta, a observat o comportare tulburatoare intr-un simplu model al stelelor care orbiteaza intr-o galaxie.

Cateva dintre orbite erau line si stabile, in timp ce altele pareau aproape aleatoare. La inceput, el si colegii lui au ignorat pur si simplu orbitele anormale presupunind ca ele apar datorita unor erori de calcul inexplicabile.In cele din urma, Hanon a descoperit ca acest tip de comportare haotica era o parte esentiala a dinamicii orbitelor stelare.

Exemple de fractali

Aria unui fractal este nula, iar lungimea este infinita sau nu este masurabila. Exemplu: patratul lui Sierpinski, curba lui von Koch.

Curba “fulgul de zapada” este primul fractal studiat. Pentru a crea un fulg Koch, se incepe cu un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente, astfel incat sa se formeze un nou triunghi echilateral exterior.

Dupa cateva sute de iteratii, lungimea curbei devine mai mare decat diametrul Universului vizibil!

Proprietatea curioasa a curbei Koch este aria finita, aceasta forma aflandu-se in fiecare iteratie in interiorul unui cerc.

La fiecare iteratie, lungimea curbei creste, este deci o curba ce margineste o arie finita dar are circumferinta infinita!

Matematicienii erau pusi in fata unor forme bizare care intrau in contradictie cu viziunea lor despre spatiu, suprafata, distanta si dimensiune.

“The Fractal Geometry of Nature”

Mandelbrot a fost printre primii care au reprezentat grafic cu ajutorul calculatorului, fractalii, dezvaluind astfel frumusetea lor vizuala, dar marele lui merit consta in introducerea lor in fluxul principal al cercetarii stiintifice prin prezentarea unei game largi de aplicatii ale fractalilor, aratand ca ei pot modela o mare varietate de fenomene: cresterea plantelor, miscarea browneana, distributia galaxiilor, haosul.

Monografia sa “The Fractal Geometry of Nature”, publicata in 1982, este cartea de referinta a domeniului.

Principiul partii asemanatoare cu intregul (principiul auto-asemanarii) este cuprins si realizat aproximativ in natura: in liniile de coasta, albiile fluviilor, formatiunile noroase, copaci, in curgerea tumultuoasa a lichidelor si in organizarea ierarhica a sistemelor vii.

Definitia fractalilor

Notiunea de “fractali” apare pentru prima data la Benoit Mandelbrot (1924–2010), in cartea sa “Les objets fractals, forme, hasard et dimension” (1975).

Termenul “fractal” provine din latinescul “fractus”– frant, fracturat si sugereaza doua deosebiri prinipale ale fractalilor fata de obiectele matematice “clasice”:

• nu sunt netede ci au frontiera complet neregulata
• nu sunt dintr-o singura bucata ci sunt formate dintr-o infinitate de parti, toate copii reduse la scara ale intregului.