Numere complexe

Mulţimea numerelor complexe.
Ecuaţia x2+1=0 nu are soluţii în mulţimea numerelor reale. Considerǎm cea mai micǎ mulţime care include R, în care aceastǎ ecuaţie are soluţii. În acest caz notǎm cu i o soluţie a ecuaţiei date şi o numim unitate imaginarǎ; i2 = -1.
MULŢIMEA NUMERELOR COMPLEXE

1.Forma algebrică. Egalitatea a două numere complexe. Operaţii cu numere complexe

Definiţia 1

Numerele de forma z = a + bi , , unde se numesc numere complexe (scrise în formă algebrică).
i se numeşte unitatea imaginară
a se numeşte parte reală
bi se numeşte parte imaginară
b se numeşte coeficientul părţii imaginare

Mulţimea numerelor complexe se notează cu C.

Definiţia 2

Două numere complexe se numesc egale dacă a = c şi b = d.

Exemplu

Să se determine numerele reale x şi y din relaţia : (x + y) + (3x + y)i = 3 – i.

Rezolvare

Observăm că în fiecare membru al egalităţii avem câte un număr complex. Pentru ca acestea să fie egale vom pune condiţiile din definiţia 2 : .

Se rezolvă acest sistem şi obţinem: x = - 2 şi y = 5.

Definiţia 3

Definim pe C operaţiile de adunare şi înmulţire, astfel:

(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

(a + bi)× (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Observaţi
În fond adunarea şi înmulţirea se efectuează la fel ca la polinoame doar că se ţine cont, acolo unde este cazul, că

Exemple

1. + = 2 + 3i – 4 + i = - 2 + 4i ;
2. - = 2 + 3i + 4 - i = 6 + 2i ;
3. × = - 8 + 2i – 12i +3 = - 8 – 10i + 3· (- 1) = - 11 – 10i .

2.Modul. Numere complexe conjugate.

Definiţia 4

Modulul unui număr complex z = a + bi este numărul real şi se notează prin .

Observaţii

Dacă atunci

Exemplu

.

Definiţia 5

Dacă z = a + bi este un număr complex atunci se numeşte conjugatul său. Numerele z şi se numesc conjugate.

Observaţii

* Suma şi produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale;
* Dacă atunci

Exemple

1. i.
2.

3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Numerele complexe se reprezintă geometric prin puncte ale unui plan (numit planul complex) în care am ales un sistem de axe ortogonale xOy. Fiecărui număr complex z = a + bi , i se asociază punctul M de coordonate (a,b). Punctul M se numeşte imaginea geometrică a numărului complex z, iar numărul z = a + bi se numeşte afixul punctului M.

Exemplu

Numerelor complexe li se asociază respectiv punctele . Desenul îl puteţi face şi singuri.

Observaţii

* Fie z = a + bi şi M(a,b) imaginea sa geometrică. Atunci =
este chiar lungimea segmentului OM. Aşadar numerele complexe de modul egal cu r se reprezintă în plan prin punctele cercului cu centrul în origine şi de rază r .

4.Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul II

Fie ecuaţia . În cazul în care ecuaţia are două rădăcini complexe date de formulele: .

Observaţii

* Rădăcinile ecuaţiei de gradul II cu coeficienţi reali sunt numere complexe conjugate.
* Rezultatele de la capitolul Ecuaţia de gradul II, privitoare la: relaţiile lui Viete, formarea ecuaţiei de gradul II când i se cunosc rădăcinile şi descompunerea trinomului de gradul II, rămân valabile şi în acest caz.

Exemplu

Să se rezolve ecuaţia .

Rezolvare


deci ecuaţia are rădăcini complexe: şi analog .

Exerciţii propuse

A.(uşoare)

1. Să se găsească numerele reale x şi y astfel încât :

a) (1 - 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i

b) (2 + i)x - (2 - i)y = x – y + 2i.
2. Să se calculeze:

3. Să se arate că numerele complexe , sunt soluţii ale ecuaţiei

4. Să se calculeze:
5. Să se reprezinte geometric numerele complexe:

a) 3 + 5i ; b) 4 - i ; c) 3i ; d) – 5 – 5i.
6. Să se rezolve în C ecuaţiile:

.

B.(nivel mediu)

7. Să se calculeze unde

8. Să se determine astfel încât numărul să fie real.

a) m = 2 b) m = 0 c) m = 1 d) m = 3 e) m = -1 .

9. Să se rezolve în C ecuaţiile: ;

10. Să se determine numerele complexe z, astfel încât

C.(dificile)
11. Dacă şi sunt rădăcinile ecuaţiei , să se calculeze:

12. Să se găsească toate numerele complexe ale căror pătrate să fie .