ECUAŢIA DE GRADUL AL II-LEA

Fie problema:

O casă are baza în formă de dreptunghi, cu lungimea de 13m şi lăţimea de 7,5m. Proprietarul doreşte să-şi construiască o bordură de ciment, de aceeaşi lăţime pe toate laturile casei (vezi desenul). Fondurile pe care le are îl obligă la o suprafaţă construibilă de 33m².

x 13m

În condiţiile date, care este lăţimea

maximă pe care o poate avea bordura

casei?

	CASA

7,5m

Pentru rezolvarea acestei probleme notăm cu x, în metri, lăţimea bordurii şi putem scrie următoarea ecuaţie:

4x² + 41x =33 Û 4x² + 41x –33 = 0

Se observă că această ecuaţie este diferită de tipul de ecuaţii învăţate anterior. Deoarece necunoscuta x apare şi la puterea a doua, această ecuaţie spunem că se numeşte de gradul al II-lea.

Forma generală a unei ecuaţii de gradul al II-lea este:

ax² + bx + c = 0 (1)

unde a,b,c sunt numere reale, cu a ¹ 0. Această ecuaţie se numeşte de gradul al II-lea cu coeficienţi reali.

Rezolvarea ecuaţiei (1) presupune determinarea tuturor soluţiilor (rădăcinilor) sale.

Existenţa rădăcinilor reale precum şi numărul lor depind de expresia

b² – 4ac (2)

care se numeşte discriminantul ecuaţiei de gr. al II-lea şi se notează cu D.

Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuaţia are două rădăcini reale, diferite între ele:

(3)

În cazul în care D = 0, atunci ecuaţia are două soluţii reale, egale:

Putem avea şi două cazuri particulare de rezolvare a ecuaţiei (1) şi anume:

a)Dacă coeficientul b al lui x este nul atunci ecuaţia devine:

ax² + c = 0

În această situaţie ecuaţia are două soluţii reale, egale numai dacă c £ 0 şi ele sunt:

b)Dacă termenul liber c este egal cu zero. atunci forma ecuaţiei este:

ax² + bx = 0

Rezolvarea este:

Ecuaţia de gradul al doilea, care are discriminantul D ³ 0, admite şi două forme particulare importante, şi anume:

1. Dacă în ecuaţia (1) coeficientul b al lui x este de forma: b = 2b₁ atunci obţinem: ax² + 2b₁x + c = 0, pentru care discriminantul devine

iar rădăcinile vor fi de forma .

2. Forma redusă a ecuaţiei de gradul al doilea. O ecuaţie de gradul al doilea se numeşte redusă dacă coeficientul lui x² = 1. Forma generală a ecuaţiei reduse este: x² + px + q = 0,

unde p, q sunt numere reale.

Dacă în relaţiile (1), (2), (3) înlocuim a, b, c respectiv cu 1, p, q vom obţine formula pentru rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea sub formă redusă:

Între coeficienţii şi rădăcinile unei ecuaţii de gr. al II-lea (1) se poate stabili
un set de relaţii cu aplicaţie practică:

(4)

Relaţiile (4) poartă denumirea de Relaţiile lui Viète. Cu aceste relaţii se poate deci calcula suma şi produsul rădăcinilor reale ale ecuaţiei (1) fără a le afla efectiv.

s = x₁ + x₂ , p = x₁ × x₂ (5)

Aceste relaţii ne permit să formăm o ecuaţie de gr. al II-lea atunci când cunoaştem rădăcinile, astfel:

x² – sx + p = 0

De utilitate practică mai este şi studiul semnelor rădăcinilor unei ecuaţii de gr al II-lea, mai ales când aceasta este cu parametru. Acest lucru se poate face studiind semnul discriminantului, sumei şi produsului rădăcinilor din relaţia (2), respectiv din relaţiile lui Viète (4).

Se poate construi următorul tabel:

D<0	Ecuaţia (1) nu are rădăcini reale.
D³0	p>0	s>0 x1>0, x2>0
		s<0 x1<0, x2<0
	p<0	s>0 x1>0, x2<0, êx1ï>êx2ï
		s<0 x1>0, x2<0, êx1ï<êx2ï

Observaţii: 1. Fie s = 0 . Ecuaţia are rădăcini reale numai dacă p £ 0. În acest caz avem x₁ +x₂ = 0 adică x₁ = -x₂ .

2. Fie p = 0 . Atunci x₁ = 0 şi x₂ = s.

APLICAŢII

1. Să rezolvăm ecuaţia problemei din introducerea lucrării:

4x² + 41x – 33 = 0

D = 41² – 4× 4 × ( - 33) = 1681 + 528 = 2209

această soluţie nu este acceptabilă din

punctul de vedere al problemei pentru că este negativă. Deci bordura casei va avea lăţimea maximă de 0,75m.

2. Să se studieze natura rădăcinilor ecuaţiei

mx² +(m – 1)x – (m – 2) = 0 în funcţie de parametrul real m.

Vom calcula şi vom studia, mai întâi, semnul pentru D, s, şi p.

D= (m –1)² + 4m(m –2)= m² – 2m +1 +4m² – 8m = 5m² – 10m +1

D va fi negativ între valorile m₁ şi m₂ şi pozitiv în rest.

	-¥ 0 1 +¥
1 – m	+ + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - -
m	- - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + +
s	- - - - - - - / + + + + + + 0 - - - - - - - - -

	- ¥ 0 2 +¥
2 – m	+ + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - -
m	- - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + +
p	- - - - - - - - / + + + + + + 0 - - - - - - - - -

m	D	s	p	natura rădăcinilor
( -¥ ; 0 )	+	-	-	$ x1¹x2ÎR, x1<0, x2>0, çx1ï>çx2ï
0	+	/	/	Ec de gr I , x – 2 = 0, x = 2
	+	+	+	$ x1¹x2ÎR, x1>0, x2>0
	0	+	+	$ x1=x2ÎR+
	-	+	+	Ecuaţia dată nu are soluţii reale.
1	-	0	+	Ecuaţia dată nu are soluţii reale.
	-	-	+	Ecuaţia dată nu are soluţii reale.
	0	-	+	$ x1=x2ÎR--
	+	-	+	$ x1¹x2ÎR--
2	+	-	0	$ x1¹x2ÎR, x1=0, x2<0
( 2; +¥ )	+	-	-	$ x1¹x2ÎR, x1<0, x2>0, çx1ï>çx2ï