MATEMATICA si MUZICA

Acum 2500 de ani, Pitagora s-a servit de un instrument numit monocord (o singura coarda vibranta), care este analog cu sonometrul utilizat astazi pentru studiul vibratiilor coardelor. Utilizând acest monocord, Pitagora si-a dat seama, cel dintâi, ca sunetul muzical (sau cel vorbit) este rezultatul vibratiilor regulate ale corpurilor elastice.

De asemenea, Pitagora a constat ca atunci când vibreaza împreuna doua coarde, dintre care una este de doua ori mai lunga decât cealalta, se aud doua sunete, coarda mai scurta dând sunetul cel mai înalt. Sunetul cel mai înalt produs de coarda scurta este în octava fata de sunetul cel mai jos produs de coarda dubla.

Adica rapoartele lungimilor si ale frecventelor sunt inverse unul altuia. Evaluarea simpla si precisa în rapoarte de numere întregi ale celor trei intervale considerate consonante perfecte, octava, cvinta si cvarta, perfecte, a constituit baza sistemului muzical.

Precizându-se aceste trei intervale de baza de catre Pitagora si discipolii sai, s-a putut fixa ulterior gama (scara) diatonica greaca (scara lui Pitagora), ale carei sunete (note) au fost numite ulterior do, re, mi, fa, sol, la ,si, do. Englezii, olandezii, germanii si ungurii desemneaza cele 8 suntele ale octavei prin litere:

Sunetele do re mi fa sol la si do Notatiile prin litere C D E F G A H C

Prin urmare, Pitagora si discipolii sai si-au dat seama ca în succesiunea sunetelor (notelor) muzicale intervin rapoarte constante din numere întregi ca 1,2,3,4.  Logaritmii sunt descoperiti de Neper, putin dupa anul 1600 e.n., astfel încât în scoala lui Pitagora (sec. VI – V î.e.n.) nu s-a stiut de legatura logaritmica dintre

diferitele intervale. Mai târziu, s-a vazut ca daca vom considera lungimea sonometrului care produce pe do egala cu unitatea, lungimile pentru celelalte note sunt mai mici decât 1, dar totdeauna  exprimate prin numere rationale ca rapoarte de numere întregi. Si anume, s-a gasit ca pentru scara muzicala a lui Pitagora, avem urmatoarea corespondenta: Sunetele Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2

Scara muzicala a lui Pitagora este convenabila pentru scrierea melodica a unei lucrari muzicale, dar nu-i satisfacatoare pentru scrierea armonica; de aceea, ea nu a fost folosita decât pâna la sfârsitul evului mediu, mai ales de catre compozitorii cântecelor bisericesti. Aparând necesitatea polifoniei si dezvoltându-se scrierea armonica s-a gasit ca daca în scara lui Pitagora, intervalele de la do la mi, fa la la si sol la si se vor

restrânge, se va obtine o intonatie mult mai placuta, mult mai satisfacatoare. În acest fel, toate tertele majore fa –la –do, sol- si – re, do – mi –sol devin terte majore perfecte în raportul 4 : 5 : 6.

Noua scara, dându-se seria sunetelor armonice, a fost numita, de aceea, scara (gama) majora cu intonatie justa sau scara muzicala naturala.

Cei vechi aveau un instrument muzical mult folosit în reprezentatiile muzicale : lira cu 8 coarde vibrante. La aceasta lira s-au determinat raportele dintre doua sunete muzicale, precum tonul, semitonul, cvarta, cvinta, octava. Un interval muzical, distanta dintre doua sunete sau doua note muzicale, poate fi reprezentat aritmetic prin câtul dintre frecventa sunetului muzical mai acut si frecventa sunetului muzical mai grav. Aceasta înseamna, experimentându-se în alt mod matematic, ca logaritmul unui interval oarecare

este egal cu logaritmul frecventei notei mai înalte minus logaritmul frecventei notei mai joase. Dar un logaritm poate fi exprimat si ca o suma de logaritmi ai intervalelor componente (ceea ce înseamna, în acest caz, ca intervalul poate fi determinat aritmetic ca un produs de numere).

Tonul este intervalul muzical dintre doua note consecutive ale gamei diatonice grecesti ( afara de intervalul dintre mi si fa sau cel dintre si si do). Semitonul este intervalul de o jumatate de ton, ca de exemplu, între mi si fa sau si si do.

Prima este intervalul dat de aceeasi nota repetata, de exemplu do1 – do1, distanta zero data de aceeasi treapta; secunda este distanta dintre doua sunete alaturate, de exemplu, do –re, mi –fa etc.; terta este intervalul dintre trei trepte consecutive, de exemplu, do – mi, sol – si etc.; cvarta consta din patru trepte, deci intervalul dintre sunetele 1 si 4 (de exemplu do – fa); cvinta consta din cinci trepte, deci intervalul dintre

sunetele 1 si 5 (de exemplu, do – sol), si asa mai departe; octava este intervalul dintre prima si ultima nota cu acelasi nume dintr-o gama (de exemplu, do- do1).

Ce legatura exista intre logaritmi si muzica?

- logaritmul cvartei perfecte este egal cu logaritmul octavei minus logaritmul cvintei perfecte.

- logaritmul sextei majore marite este egal cu suma logaritmului cvartei perfecte si cel al tertei majore

- Sexta mica (minora) este egala, logaritmic, cu suma unei cvarte perfecte si a unei terte minore micsorate

- Septima mica ( minora) este egala, logaritmic, cu suma a doua cvarte perfecte.

Logartmii pot fi folositi spre a preciza intervalele muzicale, pentru ca, spre a gasi logartmul unui interval muzical dat, nu avem altceva de facut decât de adunat sau de scazut logaritmii altor intervale.

În armonie, când este vorba de dublarea sau de suprimarea sunetelor în acorduri , rasturnari de acorduri, de întârzieri sau suspensii, anticipatii, broderii, apogiaturi, cadente, acorduri de septima dominanta sau de nona majora, alteratii coborâtoare, acorduri de undecima, modulatii, imitatii, progresii armonice etc., toate acestea nu se fac oricum, ci dupa anumite reguli bine stabilite si precis respectate de compozitori; dar regulile acestea înseamna calcul matematic. Si tot astfel fuga în muzica, adica lucrarea polifonica în care

are loc repetarea imitativa a unuia sau doua subiecte dupa un anumit plan tonal-armonic, atât de întâlnita la Bach si Handel, nu se întocmeste oricum, ci tot dupa reguli matematice, pe care compozitorii trebuie sa le stapâneasca aproape intuitiv.

Numai matematica singura însa nu este capabila sa explice totul în muzica. Nu se va ajunge niciodata sa se scrie muzica cu ajutorul simbolismului matematic ca, de exemplu, muzica în ecuatii. Dar muzica poate fi tratata prin mijlocirea matematicii, aceasta dându-i un fundament solid de mare profunzime. În sprijinul acestei idei, calculatoarele pot fi folosite la mecanizarea orchestratiilor compozitiilor muzicale. În

scrierea programelor, intervin legile armoniei