SE APROPIE OLIMPIADA

<< A FI LA MODA… INSEAMNA A FI DEMODAT>>


VECHILE ... CONCURSURI DE MATEMATICA
(selectie realizata de prof.GOBEJ ADRIAN – Colegiul National Vlaicu-Voda Curtea de Arges)
Concursul interjudeţean de matematică
“Nicolae Păun” – Râmnicu Vâlcea – 11-12 decembrie 2004
Ediţia a XI-a
Clasa a IX-a
1. Se consideră mulţimea formată din toate soluţiile reale ale ecuaţiilor de forma , unde .
a) Să se arate că , şi .
b) Să se arate că .
c) Să se arate că dacă este un interval deschis şi nevid, atunci .
2. Se consideră un triunghi , un punct din planul său şi un punct din interiorul său. Notăm aria triunghiului cu , iar dacă este un triunghi notăm cu aria sa.
a) Să se arate .
b) Să se arate că dacă este un punct din planul triunghiului , exterior triunghiului, dar în interiorul unghiului , atunci .
3. Se consideră mulţimea . Spunem că submulţimile distincte ale mulţimii formează un lanţ dacă .
a) Să se arate că dacă submulţimile distincte ale mulţimii formează un lanţ , atunci .
b) Să se determine numărul de lanţuri ale mulţimii formate cu submulţimile distincte .
4. Se consideră şi vectorii din plan.
a) Dacă , să se arate că .
b) Să se arate că există , astfel încât .

__________- Soluţii -__________
1. a) Ecuaţia are soluţiile şi . Deci , şi .
b) Presupunem că ; atunci există , astfel încât să fie soluţie a ecuaţiei . Rezultă că , sau sau , de unde rezultă că sau şi . Obţinem , de unde rezultă sau , imposibil. Deci .
c) Fie şi . Cum şi , rezultă , deoarece , . Alegem , astfel încât . Atunci există , astfel încât . Într-adevăr, aceasta este echivalent cu , adevărat, deoarece .
Cum , unde , rezultă , deci .
2. a) Notăm , , , , şi avem .



Cum , rezultă .
Apoi şi de aici rezultă

b) Se rezolvă asemănător cu a).
3. a) Din , rezultă sau , de unde rezultă .
b) Dacă este un lanţ, atunci , , …, , de unde rezultă şi . Din , rezultă . Rezultă că poate fi aleasă în moduri, apoi , poate fi aleasă în noduri, … etc. Deci vom avea lanţuri de forma .


4. a) Se ştie că , . De aici rezultă, considerând că . Mai ştim că , .
Atunci avem

b) Pentru afirmaţia este adevărată.
Dacă conform cu egalitatea paralelogramului , rezultă că sau şi în consecinţă inegalitatea este adevărată. Presupunem afirmaţia adevărată pentru un şi demonstrăm că este adevărată şi pentru .
Pentru aceasta fie vectori din plan. Cum pentru afirmaţia este adevărată deducem că există astfel ca . Aplicând ipoteza de inducţie pentru vectorii există astfel încât
. Luând şi deducem că afirmaţia este adevărată şi pentru .
_________________________________________________________
CONCURSUL REZOLVITORILOR – GAZETA MATEMATICA 2005
Clasa a IX-a
(7p) 1. Fie a > 0. Să se arate că nu există x > 0 astfel încât
,
unde este partea întreagă a numărului real y.
(7p) 2. Să se arate că
, n  N*, n ≤ 2000.
unde s-a notat (2k)!! = 246 … (2k), k  N*.
(7p) 3. Să se rezolve sistemul de ecuaţii :

unde reprezintă partea întreagă şi respectiv partea fracţionară a numărului real a.
(7p). 4. Fie un triunghi AOB dreptunghic în O. Pe dreptele OA şi OB se iau punctele C şi respectiv D astfel încât A (OC), B (OD) şi AC = BD = ,  număr real pozitiv variabil.. Fie E simetricul lui C faţă de A. Se ştie că mediatoarea segmentului CD trece printr-un punct fix F. Să se arate că mediatoarea segmentului ED trece printr-un punct fix M. Mijlocul segmentului FM fiind de asemenea fix, să i se calculeze distanţa până la punctul O.



Concursul de Matematică “Chindia” - Târgovişte, 5 februarie 2005
CLASA A IX-A
Subiectul I. a) Fie X, Y mijloacele laturilor MN, respectiv PQ ale unui patrulater MNPQ. Demonstraţi că are loc relaţia
b) Fie ABCD un patrulater oarecare şi fie M un punct oarecare în planul său. Notăm cu R, S, T, U, E, F mijloacele segmentelor AB, MB, MC, DC, RS, respectiv UT. Demonstraţi că are loc relaţia
Subiectul II. Fie numere naturale, puteri ale lui 2. Demonstraţi că dacă soluţiile ale ecuaţiei sunt numere întregi, atunci .
Subiectul III. Se consideră trei numere reale strict pozitive care satisfac relaţia Demonstraţi că
Subiectul IV. a) Demonstraţi că pentru orice număr natural există numere naturale cu proprietatea că
b) Daţi exemplu de o mulţime formată din 5 numere naturale nenule cu proprietatea că dacă se împarte pe rând produsul celor 5 numere la fiecare număr şi se adună rezultatele, se obţine un număr mai mic cu o unitate decât produsul celor 5 numere.

SUBIECTELE
CONCURSULUI INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
“ACAD. RADU MIRON”
EDIŢIA 2005
CLASA a IX - a
Subiectul I
Fie triunghiul ABC isoscel, cu (AB) (AC) şi măsura unghiului BAC de 300. Dacă M este simetricul lui B faţă de AC, N simetricul lui M faţă de A, şi{E}=MPBN, să se determine valoarea raportului .
Subiectul II
Fie punctele A1, A2, A3, A4 în plan cu proprietatea că distanţa dintre oricare două puncte este cuprinsă în intervalul : , unde n  N*. Să se arate că punctele A1, A2, A3, A4 sunt vârfurile unui dreptunghi.
Subiectul III
Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia x2 + y2 + z2 + 1 = 2t.
BAREMELE
CONCURSULUI INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
“ACAD. RADU MIRON”
EDIŢIA 2005
CLASA a IX - a
Subiectul I
1. Figura 1p
2. 1p
3. 1p
4. Notăm AB = a  BM = a, MN = 2a, NB = 1p
5. 1p
6. 1p

7. Obţinem 1p

Subiectul II
Dacă de exemplu, A2 (A1A3), atunci A1A3 ≥ 2n, contradicţie ! (2p)

. . .
A1 A2 A3
2p - Orice triunghi, cu vârfurile trei din cele patru puncte este fie ascuţitunghic, fie dreptunghic. Intr-adevăr, de exemplu, în ∆ A1A2A3 avem , de unde .
1p - Dacă cele patru puncte ar fi vârfurile unui patrulater neconvex (concav), atunci am avea, de exemplu : , imposibil (figura alăturată).

A2


A1


A3 A4

2p - Deci cele patru puncte sunt vârfurile unui patrulater convex.
- Din ( ) rezultă că ABCD este dreptunghi.
Observaţie Puteţi aplica şi teorema cosinusului, obţinând .
Subiectul III
t = 0  x2 + y2 + z2 = 0  x = y = z = 0 1p
t = 1  x2 + y2 + z2 = 1  (x; y; z)  (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) 1p
t  2  2t  M4
Avem n2 M4 sau n2M4+1,  n .
Obţinem că x. y şi z sunt impare 2p
Fie x = 2a + 1 , y = 2b + 1 şi z = 2c + 1 cu a,b,c 

4a(a + 1) + 4b(b + 1) + 4c(c + 1) + 4 = 2t
a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1) + 1 = 2t-2
2t-2 impar  t = 2 (2p)  x2 + y2 + z2 = 3
Pentru x  2 nu există soluţii reale 1p
Pentru x = 1 y2 + z2 = 3 şi nu găsim soluţii naturale
Pentru x = 1 y2 + z2 = 2 → y = z = 1