METODE GENERALE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

Rezovarea problemelor nu beneficiază de o metodă universală. Analizând modurile de acţiune ale găndirii (analiză, sinteză, abstractizare, generalizare), se pot formula două metode generale de rezolvare:

- metoda sintezei – gândirea se concentrează asupra ipotezelor, pe care le modifică, le grupează şi le combină, până la obţinerea concluziei. În acest caz, gîndirea evoluează de la cunoscut spre necunoscut.

- metoda analizei – gândirea evoluează de la necunoscut spre cunoscut. Se porneşte de la întrebare, de la concluzie, care se modifică spre a o apropia de ipoteză sau ceva echivalent cu ipoteza.

Exemplu: teorema lui Pitagora (Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.)

i) demonstraţia prin metoda sintezei:

Fie DABC, m(⊀A) =90°.

Fie A’-proiecţia punctului A pe dreapta BC.

În DABC, m(⊀A) =90° ÞAB² =BA’×BC , AC² =CA’×BC (teorema catetei) ÞAB²+AC² =(BA’+CA’)×BC =BC×BC =BC² ÞAB²+AC² =BC².∎

ii)demonstraţia prin metoda analizei:

Fie BC =a, AC =b, AB =c.

Pornind de la concluzie, avem c²+b² =a². Interpretând a², b², c² ca ariile pătratelor de laturi a, b şi respectiv c, aceasta conduce la construcţia următoare:

De fapt, ar trebui să demonstrăm că pătratul de latură a poate fi acoperit cu două pătrate de laturi b, respective c. Aceasta nu se poate face şi modul cel mai simplu de a acoperi este cu două dreptunghiuri, unul echivalent cu pătratul de latură b, iar altul echivalent cu pătratul de latură c. Notând cu x şi y laturile diferite de a ale celor două dreptunghiuri şi având în vedere echivalenţa cu pătratele menţionate, se obţine:

ax =b², ay =c² –relaţii ce conduc la teorema catetei Þx este proiecţia catetei AC pe ipotenuză, iar y este proiecţia catetei AB pe ipotenuză Þconstruim A’ –proiecţia punctului A pe dreapta BC (construcţie justificată), BA’ =x, CA’ =y.

aşadar, a² =ax +ay =b² +c².∎

Observaţie: demonstraţia pe cale analitică cere mai mult timp, dar este mai instructivă.

Utilitatea rezolvării problemelor apare în orice etapă a procesului de învăţământ: în predarea noilor cunoştinţe (prin situaţii –problemă), în învăţarea, consolidarea cunoştinţelor, în verificarea şi autoverificarea cunoştinţelor.