Fractal

Colocvial, un fractal este "o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturală a întregului".^[1] Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 și este derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat".
Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici:

• Are o structură fină la scări arbitrar de mici.
• Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradițional.
• Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic).
• Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deși această cerință nu este îndeplinită de curbele Hilbert).
• Are o definiție simplă și recursivă.^[2]

Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei considerați ca fiind infinit complecși (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximează fractalii până la un anumit nivel se numără norii, lanțurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă și fulgii de zăpadă. Totuși, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reală (o linie dreaptă Euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplinește celelalte caracteristici.

Matematica din spatele fractalilor a apărut în secolul 17, când filosoful Gottfried Leibniz a considerat autosimilaritatea recursivă (deși greșise gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare în acest sens).
Abia în 1872 a apărut o funcție al cărei grafic este considerat azi fractal, când Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcție cu proprietatea că este continuă, dar nediferențiabilă. În 1904, Helge von Koch, nesatisfăcut de definiția abstractă și analitică a lui Weierstrass, a dat o definiție geometrică a unei funcții similare, care se numește astăzi fulgul lui Koch. În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul și, un an mai târziu, covorul lui Sierpinski. La origine, acești fractali geometrici au fost descriși drept curbe în loc de forme bidimensionale, așa cum sunt cunoscute astăzi. Ideea de curbe autosimilare a fost preluată de Paul Pierre Lévy, care, în lucrarea sa Curbe și suprafețe în plan sau spațiu formate din parți similare întregului din 1938, a descris o nouă curbă fractal, curba C a lui Lévy.
Georg Cantor a dat, de asemenea, exemple de submulțimi ale axei reale cu proprietăți neobișnuite — aceste mulțimi Cantor sunt numite astăzi fractali.
Funcțiile iterate în planul complex au fost investigate la sfârșitul secolului 19 și începutul secolului 20 de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou și Gaston Julia. Totuși, fără ajutorul graficii pe calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumusețea numeroaselor obiecte pe care le descoepriseră.
În anii 1960, Benoît Mandelbrot a început să cerceteze autosimilaritatea în lucrări precum Cât de lungă este coasta Marii Britanii? Autosimilaritate statistică și dimensiune fracțională. În sfârșit, în 1975, Mandelbrot a inventat termenul "fractal" pentru a denumi un obiect al cărei dimensiune Hausdorff-Besicovitch este mai mare decât dimensiunea topologică a sa. A ilustrat această definiție matematică cu imagini construite pe calculator.