Unghiul drept

După mărturiile greceşti, se pare că egiptenii au fost primii geometri: Herodot ne spune că regele Sesostri a dat fiecăruia câte un lot de formă pătrată. Dar cum construiau egiptenii pătrate şi, în particular, unghiuri drepte? Mulţi cercetători cred că ei cunoşteau ceea ce azi numim teorema lui Pitagora. Mai bine zis, ştiau să-i folosească reciproca: ştiau că un triunghi cu laturi de 3, 4, 5 unităţi are un unghi drept între laturile mai scurte. Era atunci uşor să-l construiască folosind o sfoară de lungime 12 cu noduri din 1 în 1.Pentru triunghiuri dreptunghice mai mari sau mai mici se prelungeau sau scurtau laturile unuia standard.
O asemenea construcţie denotă o cunoaştere adâncă a unei idei geometrice fundamentale: unghiul drept.
De fapt, ce este unghiul drept?  Primul răspuns care, bănuiesc, vă vine în minte: „un unghi de 90 de grade”, e şi cel mai nepotrivit. Nu numai pentru că se bazează pe o convenţie (măsurarea în grade) pe care nu toţi o adoptă (vechii egipteni în nici un caz), ci şi pentru că introduce în definiţie un obiect matematic extrem de complicat: măsura. Nici răspunsul „un sfert de cerc” nu e mai bun pentru că foloseşte cercul a cărui definiţie presupune şi ea măsura. În fine, dacă spuneţi „unghi făcut de două drepte perpendiculare” am să vă întreb ce sunt perpendicularele, cercul vicios pândeşte...
Observaţia fundamentală e că un triunghi cu un unghi drept se poate răsturna peste una dintre catete (să zicem peste cea mică) obţinându-se un unghi egal. Noul triunghi se poate răsturna peste cateta cea mare, obţinând un nou triunghi egal. După încă două astfel de răsturnări cădem peste triunghiul iniţial. Altfel spus, un unghi drept e unul egal cu suplementul său. Iată că nu e nevoie de măsură pentru a-l defini.
Dar sunt toate unghiurile drepte egale între ele? Trebuie să fie aşa, altfel nu am putea spune apoi că toate au 90 de grade. Dar demonstraţia acestui fapt nu e deloc uşoară. Euclid n-a făcut-o, e probabil că nu o ştia, sau i s-a părut de ordinul evidenţei, a preferat să dea acest enunţ ca axiomă. Dar nu e aşa, iar prima idee de demonstraţie apare la Proclus (412-485).   
A doua întrebare naturală: există unghiuri drepte? Dacă da, cum se construiesc (fără raportor, am convenit că nu vrem încă să măsurăm). Aici răspunsul e simplu şi se bazează pe proprietatea de simetrie despre care aminteam înainte. Se ia un segment arbitrar, se trasează cercuri cu aceeaşi deschidere a compasului cu centrele în capetele segmentului, dreapta care uneşte cele două intersecţii e perpendiculară pe segmentul dat în chiar mijlocul lui.
Iată deci că existenţa unghiurilor drepte nu are nimic a face cu măsura şi nu este o proprietate euclidiană. Unghiuri drepte există în toate geometriile, în toate lumile, fie ele euclidiene, eliptice (adică pe sferă) sau hiperbolice (pe planul lui Lobacevski).