În matematică, un grup este o structură algebrică ce constă dintr-o mulțime pe care este definită o lege de compoziție internă (operație) care combină două elemente ale mulțimii pentru a forma un al treilea element al aceleiași mulțimi. Pentru a fi un grup, mulțimea și operația trebuie să satisfacă o serie de condiții, denumite axiomele grupurilor, și anume asociativitatea, existența elementului neutru și a elementului simetric. Deși acestea sunt proprietăți cunoscute ale multor structuri matematice, cum ar fi mulțimile de numere—de exemplu, mulțimea numerelor întregi împreună cu operația de adunare formează un grup— formularea axiomelor este detașată de natura concretă a grupului și de operația respectivă. Aceasta permite manevrarea unor entități de origini matematice diferite într-o manieră flexibilă, păstrând în același timp aspecte structurale esențiale comune ale multor tipuri de obiecte. Omniprezența grupurilor în numeroase domenii—atât matematice cât și din afara matematicii—face din ele un principiu central de organizare în matematica contemporană.[1][2]
Grupurile au proprietatea fundamentală de apropiere de noțiunea de simetrie. Un grup de simetrie abstractizează caracteristicile de simetrie ale unui obiect geometric: el constă din mulțimea transformărilor care lasă obiectul neschimbat, și operația de combinare a acestor transformări prin înlănțuirea lor. Asemenea grupuri de simetrie, în particular grupurile Lie continue, joacă un rol important în mai multe discipline academice. Grupurile matriceale, de exemplu, pot fi folosite pentru a înțelege legi fundamentale ale fizicii, în teoria relativității restrânse, sau fenomene de simetrie în chimia moleculară.
Conceptul de grup a apărut în legătură cu studiul ecuațiilor polinomiale, efectuat de către matematicianul francez Évariste Galois în anii 1830. După contribuțiile venite din alte domenii, cum ar fi teoria numerelor și geometria, noțiunea de grup s-a generalizat în preajma anilor 1870. Pentru a explora grupurile, matematicienii au dezvoltat diferite notații pentru a descompune grupurile în părți componente mai mici și mai ușor de înțeles, cum ar fi subgrupurile sau grupurile simple. O teorie a grupurilor s-a dezvoltat pentru grupurile finite, care a culminat cu clasificarea grupurilor simple finite, încheiată în 1983.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu